روش علمی است که برای جمع آوری تلخیص تجزیه و تحلیل تفسیر و بطور کلی برای مطالعه و بررسی مشاهدات بکار گرفته می شود

آ م ا ر و ا ح ت م ا ال ت

روش علمی است که برای جمع آوری تلخیص تجزیه و تحلیل تفسیر و بطور کلی برای مطالعه و بررسی مشاهدات بکار گرفته می شود 1- برای تبدیل داده ها به اطالعات 2- برای بررسی صحت و سقم فرضیات 3- برای تعیین اعتبار و پایایی تحقیقات

جامعه بزرگترین مجموعه از موجودات است که در یک زمان معین مطلوب ما قرار می گیرند مثل جامعه فرهنگیان ایران و... تعدادی از عناصر مطلوب مورد نظر که حداقل دارای یک صفت مشخصه باشند صفتی است که بین همه عناصر جامعه آماری مشترک و متمایز کننده جامعه آماری از سایر جوامع باشد

1- محدود : یعنی جامعه مقادیر از تعداد محدود و ثابتی تشکیل شده و پایان پذیر باشد 2- نا محدود : یعنی جامعه از یک ردیف بی انتهایی از مقادیر تشکیل شده باشد

نمونه عبارتست از تعداد محدودی از آحاد جامعه آماری که بیان کننده ویژگی های اصلی جامعه باشد 1- پارامتر )parameter( : شاخص هایی که از طریق سرشماری ( اندازه گیری تمامی عناصر جامعه آماری ) بدست می آیند 2- آماره ( statistic )sample : شاخص هایی که از طریق نمونه گیری ( اندازه گیری بخشی از جامعه ) بدست می آیند

محاسبه مقادیر و شاخص های جامعه آماری با استفاده از سرشماری تمامی عناصر آن بعبارتی توصیف کل جامعه از طریق محاسبه پارامترها محقق ابتدا آماره ها را محاسبه و سپس به کمک تخمین و آزمون فرض آماری آنها را به پارامترهای جامعه تعمیم می دهد

متغیر مستقل به علت احتمالی یا فرضی متغیر وابسته متغیر مستقل یا متغیر درونداد و به عبارتی محرک گفته می شود متغیر وابسته به متغیری که به تبع تغییر متغیر مستقل مقدارش کم و زیاد می شود متغیر وابسته متغیر پاسخ و یا برونداد اطالق می شود

Nominal scale Ordinal(Rank) scale Interval scale Ratio scale 1- مقیاس اسمی 2- مقیاس ترتیبی 3- مقیاس فاصله ای 4- مقیاس نسبی

صرفا برای طبقه بندی اشیاء اشخاص و یا خصوصیات استفاده میشود. سهام شرکت سیمانی سهام شرکت خودرویی... اگر بین اسامی ایجاد شده یا طبقات یک نوع رابطه هم وجود داشته باشد یعنی قابل مرتب سازی باشند از مقیاس ترتیبی استفاده می نمایند. سهام شرکتهای کوچک سهام شرکتهای متوسط سهام شرکتهای بزرگ

فاصله بین اعداد یا طبقات یکسان باشد. نقطه صفر اختیاری و قراردادی است. دما بر حسب سانتیگراد 40 درجه سانتیگراد به اندازه 10 درجه سانتیگراد باالتر از 30 درجه سانتیگراد است مقیاسی است که عالوه بر داشتن همه خصوصیات مقیاس فاصله ای دارای نقطه صفر واقعی نیز هست مثل قیمت سهام گرم 200 گرم دو برابر 100 گرم است و از آن 100 گرم نیز سنگینتر است

هدف این فصل آشناسازی دانشجویان با پارامترهای مرکزی و پراکندگی در جوامع کوچک ( 20 N ) می باشد اعدادی هستند که به منظور بیان کمی توزیع اندازه ها از آن استفاده می شود. این شاخص ها توصیف کننده مجموعه داده ها می باشند به هر معیار عددی که معرف مرکز مجموعه داده ها باشد پارامتر مرکزی اطالق می شود یعنی همان مقدار نماینده ای که مشاهدات در اطراف آن توزیع شده اند

1- میانگین شامل میانگین حسابی میانگین هندسی میانگین هارمونیک -2 مد ( نما ) -4 میانه )Median(

این میانگین از تقسیم مجموع مشاهدات بر تعداد آنها بدست می آید X n i 1 x N n i 1 X i N X i فرمول میانگین حسابی جامعه فرمول میانگین حسابی نمونه

اگر هر یک از مشاهدات دارای تکرار باشند در این صورت تعداد تکرارها بعنوان وزن مشاهدات تلقی شده و آنها را با نشان می دهند نحوه دیگر نمایش w W i N X i wi که در آن R1 و R2 و... نرخهای بازدهی پرتفولیوهای 1 و 2 و... و w1 و w2 نیز وزن پرتفولیوها در کل سبد می باشند. w1+ w2 + + wn = 1

محاسبه اندازه های نسبی همانند نسبت ها در صدها شاخص ها و نرخ های رشد استفاده می شود 1 G ( X... ) 1 X 2 X N N از میانگین هندسی برای محاسبه نرخهای بازدهی مرکب در دوره های مختلف استفاده می شود. اگر نرخهای بازدهی یکسان باشد میانگین هندسی با حسابی یکسان خواهد بود

مثال محاسبه میانگین هندسی یک سرمایه گذاری در سال اول دارای بازده مثبت %50 و در سال دوم دارای نرخ رشد منفی %50 بوده است. نرخ رشد مرکب این سرمایه گذاری به چه میزان بوده است

از این نوع برای محاسبه میانگین مشاهداتی استفاده می شود که از مقیاس های ترکیبی همانند «کیلو در ساعت» یا «دور در ثانیه» برخوردار هستند این میانگین برای چند اندازه یا مقدار برابر است با عکس میانگین حسابی معکوس آن اندازه ها H 1 x 1 1 x 2 N... 1 x N N i1 N 1 x i

مقادیر یکسانی )به ریال( خریداری باشد. N بار سهام که در آن Xi قیمت سهام می H N i1 N 1 xi مثال: سرمایه گذاری اقدام به خریداری یک میلیون تومان سهام شرکت الف به قیمت 20 تومان در انتهای ماه اول و خریداری یک میلیون تومان همان سهام به قیمت 25 تومان در انتهای ماه دوم می نماید. متوسط قیمت خرید شخص چقدر است

مثال: سرمایه گذاری اقدام به خریداری یک میلیون تومان سهام شرکت الف به قیمت 20 تومان در انتهای ماه اول و خریداری یک میلیون تومان همان سهام به قیمت 25 تومان در انتهای ماه دوم می نماید. متوسط قیمت خرید شخص چقدر است قیمت میانگین خرید مستقل از حجم خرید است.

4 محاسبه نمایید 3 2 مثال: میانگین حسابی هندسی و هارمونیک را برای سه داده و

مثال: سبد سرمایه گذاری آقای خاوری در ابتدای سال عبارت بوده است از 4 تومان پول نقد 6 میلیون اوراق مشارکت و 10 میلیون تومان سهام شرکتها. میلیون %12 %7 در صورتیکه بازدهی پرتفولیوها در طی سال به ترتیب برابر %5 باشد بازدهی کلی سبد در انتهای سال را محاسبه کنید بوده و و

سبد سرمایه گذاری آقای خاوری در ابتدای سال عبارت بوده است از 4 پول نقد 6 میلیون اوراق مشارکت و 10 میلیون تومان سهام شرکتها. میلیون تومان %12 %7 در صورتیکه بازدهی پرتفولیوها در طی سال به ترتیب برابر %5 باشد بازدهی کلی سبد در انتهای سال را محاسبه کنید بوده و و

به مقداری گفته می شود که در میان سایر مقادیر توزیع بیشترین تکرار را داشته باشد مد را با Mo نشان می دهند یک مجموعه داده ممکن است بیش از یک مد داشته باشند )تعداد تکرار مساوی دو داده با بیشترین تکرار( یا اصال مد نداشته باشند )عدم تکرار(. 2,4,5,5,7,8,8,8,10,12 مد= 8

Median در هر مجموعه از مقادیر پس مرتب سازی داده ها به ترتیب صعودی یا نزولی داده وسط میانه نام دارد اگر تعداد مشاهدات فرد باشد داده وسط >== میانه: 7 14,11,7,5,2 اگر تعداد داده ها زوج باشد میانه برابر است با میانگین دو داده وسط >== میانه: =9/5 2 / )9+10( 20,9,10,3

داده ها کمتر از چهارک سوم هستند. داده ها کمتر از دهک ششم هستند. داده ها کمتر از صدک پنجاهم هستند. %75 %60 %50 12/6 70 برای داده هایی با 17 مشاهده صدک ام در مشاهده رخ می دهد. )1 + 17( * 70/100 =12/6

شاخص هایی هستند که متوسط میزان دوری و نزدیکی داده های توزیع را نسبت به میانگین شان نشان می دهند 1- کمک به توصیف واقعی تر یک سری از داده ها 2- کمک به قابلیت مقایسه دو یا چند سری از داده ها

دامنه تغییرات واریانس انحراف معیار انحراف متوسط از میانگین ضریب پراکندگی

R Range ساده ترین شاخص پراکندگی است و با کم کردن کوچکترین مشاهده از بزرگترین آنها در یک سری توزیع بدست می آید در مجموعه داده زیر دامنه تغییرات را محاسبه نمایید. MAX X i MIN X i 22% 12%, -5% 15% پاسخ 22% - (-5%) = 27%

Mean Absolute Deviation این شاخص از تقسیم مجموع قدر مطلق انحرافات تک تک مشاهدات از میانگین شان بر تعداد مشاهدات بدست می آید X i X MAD محاسن : در نظر گرفتن تغییرات کل داده ها معایب : 1- نشان ندادن تأثیر انحرافات بزرگ N 2- بی بهره بودن از بعضی از خواص مطلوب میانگین حسابی

در مجموعه داده زیر انحراف متوسط از میانگین را محاسبه نمایید. 22% 12%, -5% 15% پاسخ: Mean = (15-5 + 12 + 22) / 4 = 11 % MAD = ( 15 11 + -5 11 + 12 11 + 22-11 ) / 4 = 32/4 = 8%

در این شاخص پراکندگی بر خالف شاخص انحراف متوسط از میانگین بجای قدر مطلق از مجذور )توان 2( انحرافات استفاده می شود واریانس جمعیت ( X i ) 2 x X N 2

این شاخص به منظور برطرف کردن عیوب شاخص های قبلی است یعنی همان نشان ندادن تأثیر انحراف بزرگ توسط MAD و افزایش دادن تأثیر این انحراف توسط σ2 X 2 X انحراف معیار جمعیت X ( X i N x ) 2

در مجموعه داده زیر انحراف معیار را محاسبه نمایید. 22% 12%, -5% 15% پاسخ: (µ)= 11 %

b جمع شوند واریانس جدید تغییر نمی 2 b ضرب شوند واریانس جدید b برابر 1- اگر تمام مشاهدات با عدد ثابت کند 2- اگر تمام مشاهدات به عدد ثابت افزایش می یابد

این رابطه حداقل درصد مشاهداتی را مشخص می کند که در K میانگین قرار می گیرند. نقطه قوت آن این است که برای هر مشاهده ای صادق است. انحراف معیار از

ضریب پراکندگی یکی از معیارهای پراکندگی نسبی است که با فرمول زیر بیان می شود برای مقایسه دو جامعه در مواردی که : 1- مقیاس ها یکسان نیستند 2- مقیاس یکسان ولی تفاوت زیادی در بزرگی مشاهدات وجود دارد 3- واریانسهای جوامع یکسان ولی میانگین هایشان متفاوت است CV X X

آنچه که ضریب پراکندگی محاسبه می کند عبارت است از ریسک به ازاء هر واحد بازده: دارایی ب دارای انحراف معیار و بازده باالتری است. پایین تر باشد مطلوبتر است. هر چه میزان ضریب پراکندگی

بازده اضافی به ازاء هر واحد از ریسک CV( ریسک را به ازاء هر واحد بازده محاسبه می کند(. پس هر چه نسبت شارپه باالتر باشد بهتر است. مثال: بازده متوسط سبد برابر %17 می باشد انحراف معیار برابر با %9 ریسک نیز برابر %5 است. نسبت شارپه را محاسبه کنید و نرخ بدون

یعنی جدول مرتب و خالصه شده از داده ها و مشاهدات که تکرار وقوع هر داده ها در آن مشخص شده است ) R 1- مرتب کردن داده ها و محاسبه دامنه تغییرات ( 2- مشخص کردن تعداد طبقات ( K ) 3- محاسبه نمودن فاصله طبقات ( I ) 4- سازماندهی طبقات

فاصله طبقات از تقسیم مقدار ( R دامنه تغییرات ) بر مقدار محاسبه شده برای تعداد طبقات ( K ) به شکل زیر بدست می آید I R K

چنانچه در جدول طبقه بندی داده ها بجای فراوانی مطلق Fi ا ز فراوانی نسبی fi استفاده شود به آن توزیع فراوانی نسبی گویند فراوانی مطلق آن طبقه --------------------------- = فراوانی نسبی هر طبقه تعداد کل مشاهدات )فراوانی ها( f i F N i به کمک این فراوانی می توان در صد تراکم داده ها را در هر طبقه مشخص نمود بعبارتی از fi جهت یافتن محل تمرکز داده ها استفاده می شود

اگر در جدول طبقه داده ها بجای فراوانی های مطلق و نسبی از فراوانی تجمعی استفاده شود به جدول بدست آمده توزیع فراوانی تجمعی گویند فراوانی تجمعی هر طبقه عبارتست از مجموع فراوانی های مطلق از اولین طبقه تا طبقه مورد نظر که آن را با FCi نشان می دهند F Fci i i1

این فراوانی از تقسیم فراوانی تجمعی هر طبقه بر تعداد مشاهدات بدست می آید fc Fc i i N این فراوانی بیانگر در صد داده ها و مشاهدات واقع شده بین حد پایین اولین طبقه تا حد باالی طبقه مورد نظر است

Histogram

Frequency Polygon

میانگین که به روش های مستقیم و غیرمستقیم قابل محاسبه است مد که نشان دهنده بیشترین تکرار می باشد میانه که مشخص کننده داده وسط است چندکها شامل چارکها دهکها و صدکها

در هنگام مقایسه دو یا چند جامعه در صورت مساوی بودن پارامترهای مرکزی و پراکندگی این پارامترها با بهره گیری از ضریب چولگی کارساز خواهند بود. آنچه ضریب چولگی نشان میدهد این است که توزیع مورد بررسی تا چه حد فاقد تقارن است. -1 متقارن ( نرمال ) : مد = میانه = میانگین 2- چوله به راست : 3- چوله به چپ : مد < میانه < میانگین مد > میانه > میانگین

متقارن ( نرمال ) : مد = میانه = میانگین ضریب چولگی = 0

مد < میانه < میانگین ضریب چولگی مثبت

مد > میانه > میانگین ضریب چولگی مثبت

1- صفر : در صورت متقارن بودن توزیع جامعه 2- مثبت : در صورت چوله به راست بودن توزیع جامعه 3- منفی : در صورت چوله به چپ بودن توزیع جامعه اگر دم توزیع جامعه به سمت راست باشد توزیع را چوله به راست و در صورت عکس آن را چوله به چپ می نامند

SK 0 / 1 ج امعه تقریب ا نرم ال تفاوت اندک با توزیع نرمال 0 / 1 SK 0 / 5 SK 0 / 5 تفاوت فاحش با توزیع نرمال -1-2 -3

این پارامترها برای مقایسه توزیع جوامع مورد نظر با توزیع جامعه نرمال به لحاظ کشیدگی ( کوتاهی و بلندی توزیع ) مورد استفاده قرار می گیرد

کشیدگی توزیع نرمال برابر عدد 3 است. انحراف کشیدگی )کشیدگی اضافی( را با E نشان می دهند و برابر کشیدگی منهای 3 است. انحراف کشیدگی برای توزیع نرمال برابر صفر است. انحراف کشیدگی بیشتر از -1 مساوی توزیع نرمال ( E=0 ) 2- بلندتر از توزیع نرمال ( 0<E ) 3- کوتاه تر از توزیع نرمال ( 0>E ) 1 بزرگ محسوب می شود.

احتمال یعنی شانس وقوع یک پیشامد خاص و احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت دفعاتی که پیشامد خاصی در تکرارهای زیاد رخ می دهد - احتمال ذهنی متغیر و وابسته به نظر اشخاص است) Subjective ( - احتمال عینی ثابت و مقدار آن از قبل مشخص است و به عقاید اشخاص بستگی ندارد) Empirical (

مجموعه پیامدهای ممکن یک آزمایش را فضای نمونه آن آزمایش می گویند. فضای نمونه را با S نشان می دهند محدود - یعنی این که فضای نمونه تعداد کمی عضو داشته باشد نامحدود - یعنی اینکه فضای نمونه آزمایش ( تعداد اعضاء آن ) نامتناهی است

به هر یک از زیر مجموعه های فضای نمونه یک پیشامد گفته می شود پیشامدهای هم شانس یعنی این که تمام پیشامدهای دارای شانس وقوع برابر باشند احتمال وقوع پیشامدی مثل A برابر می شود با تعدادهای عضو های پیشامد A به تعداد عضوهای فضای نمونه دوبه دو ناسازگار: هر دو با هم نمی توانند رخ دهند P( A ) n( A ) n( S )

دوبه دو ناسازگار: هر دو با هم نمی توانند رخ دهند پیشامدهای وابسته: دانستن نتیجه یک پیشامد در مورد پیشامد دیگر داده ای به دست می دهد. رشد تورم و رکود یا رونق اقتصاد پیشامدهای مستقل: وقوع یک پیشامد اثری بر وقوع دیگری ندارد. شیر یا خط آمد سکه.

1 0 P( A) 1 برای مجموعه ای از پیشامدهای دوبه دو ناسازگار: 2 P( S) 1

در این نمودار به منظور نشان دادن پیشامد ها کل فضای نمونه در قالب مستطیلی ارائه شده و هر پیشامدی قسمتی از این مستطیل را به خود اختصاص می دهد S A

دو پیشامد را در صورتی «نا سازگار» گویند که امکان وقوع همزمان نداشته باشند یعنی با وقوع یکی دیگری امکان وقوع نداشته باشد مثل شیر و خط S A B

دو پیشامدی را گویند که وقوع یکی مانع وقوع دیگری نیست بعبارتی این دو پیشامد دارای حداقل یک عضو مشترک هستند. محل تالقی دو پیشامد نقطه مشترک آنهاست )جائیکه دو بار هاشور خورده است( S A B

اجتماع دو پیشامدی مثل A و B مجموعه تمام عضوهایی است که در A یا در B یا هم در A و هم در B قرار دارند اجتماع دو پیشامد A و B را با AU B نشان می دهند. ( A یا B( حد اقل یکی از دو پیشامد مزبور رخ داده است S A B

اشتراک دو پیشامدی مثل A و B را با A B نشان می دهند. وقوع A B یعنی این که هر دو پیشامد A و B رخ داده است S A B

A C متمم پیشامدی مثل A که با نشان داده می شود مجموعه تمام عضوهایی است که در فضای نمونه است ولی در خود پیشامد A نیست وقوع متمم به معنی عدم وقوع پیشامد A می باشد S A A C

) ( 1 ) ( ), ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( A A A S A A C C C C P A P A P P P A P S P

P( A B) P( A) P( B) P( A B) برای دوپیشامد ناسازگار P( A B) P( A) P( B)

در پیشامد شرطی یا مشروط احتمال وقوع یک پیشامد به شرط وقوع پیشامد دیگر بررسی می شود P( A / B ) P( A P( B B ) ) وقوع A به B مربوط بوده B قبال رخ داده P( B ) 0-1 -2-3 شروط :

لامتحا هبساحم یارب ار برض نوناق ناوت یم یطرش لامتحا زا هدافتسا اب دومن نایب ریز حرشب اهدماشیپ کارتشا ) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P ) / ( ) ( ) ( B A P B P B A P

دو پیشامد را «مستقل» می گوییم در صورتی که وقوع یا عدم وقوع یکی در وقوع و یا عدم وقوع دیگری هیچ تأثیری نداشته باشد چون A و B هیچ تأثیری بر روی هم ندارند برای محاسبه احتمال اشتراک آنها بشکل زیر عمل می شود : P( A B ) P( A) P( B )

شرط ناسازگار بودن دو پیشامد A B P( A B) 0 شرط مستقل بودن دو پیشامد P( A B ) P( A) P( B )

احتمال اینکه هر دو پیشامد رخ بدهند احتمال مشترک دو پیشامد نام دارد. احتمال افزایش نرخ بهره %40 است. احتمال رکود اقتصادی در صورت افزایش نرخ بهره %70 است. احتمال اینکه هم نرخ بهره افزایش یابد و هم رکود اقتصادی رخ دهد چیست P(I) = 40%, P(R I) = 70% P(R Π I) = P(R I) x P(I) = 0.7 x 0.4 = 28%

P(A) = P(AIB) + P(AI B C ) = P(AΠB) * P(B) + P(AΠ B C ) * P(B C ) P(A) = P(AI S 1 ) x P(S 1 ) + P(AIS 2 ) x P(S 2 ) +... + P(AI S n ) x P(S n )

با داشتن: P نرخ سود) (افزایش = P(I) = 0.4 P افزایش نرخ سود) (عدم = P(I C ) = 1-0.4 = 0.6 P نرخ سود رکود) (افزایش = P(R I) = 0.70 P افزایش نرخ سود رکود) (عدم = P(RI C) = 0.10 احتمال رکود )نامشروط( را محاسبه کنید P(R) = P(R I) x P(I) + P(RI C) x P(I C ) = 0.70 x 0.40 + 0.10 x 0.60 = 0.34

محاسبه امید ریاضی با توجه به قاعده کلی احتمال:

این قضیه پژوهشگران را در تجدید نظر احتماالت در صورت دسترسی به اطالعات جدید کمک می کند P( A / B ) P( A ) P( B P( B ) / A )

این قواعد عبارتند از : 1- قاعده ضرب 2- جایگشت )ترتیب( 3- ترکیب از این قواعد در وضعیت هایی استفاده می شود که فهرست نمودن تمام حاالت ممکن آزمایش مقدور نمی باشد لذا فقط به ذکر تعداد حاالت ممکن و مختلف اکتفا می شود

طرق ممکن انجام عمل در آزمایشی که مرحله اول آن به n1 طریق و... مرحله K ام آن به nk طریق انجام میگیرد عبارت خواهد بود از : n 1 n... 2 n K

یعنی تعداد طرقی که می توان r شی را از بین n شی انتخ اب ن مو د بطوریکه و ترتیب قرار گرفتن اشیاء نیز مهم باشد 1- تعداد کل جایگشت های N شی متمایز 2- تعداد کل جایگشت های N شی نامتمایز 3- تعداد جایگشت های r شی انتخابی از بین N شی متمایز

n!=n (n-1) 3 2 1 (n-1)!=(n-1)(n-2) 3 2 1 1- در صورت ردیفی بودن بشکل 2- در صورت دایره ای بودن n n!! n!... n 1 2 k! شروط تای آنها از یک نوعn2 n1 تای آنها از نوع دیگر و... n 1 n... 2 n k n 1- از n شی -2

مثال: از میان 10 سهم می خواهیم 5 سهم را خرید 3 سهم را نگهداری و دو سهم را فروش مشخص کنیم. به چند طریق این کار ممکن است

r و n هر دو متمایز -1 شروط : n r < n -2 P n r ( n r )

1- توجه به تعداد اشیاء و حجم انتخابی از بین آنها 2- توجه به ردیفی یا دایره ای بودن اشیاء 3- توجه به متمایز یا نامتمایز بودن اشیاء

مثال:شما دارای 5 سهم هستید و می خواهید سه تا از آنها را یکی یکی بفروشید. ترتیب فروش سهمها مهم است. به چند طریق می توانید این کار را انجام دهید

تعداد طرق انتخاب r شی متمایز از بین n شی بشرطی که ترتیب قرار گرفتن اشیاء باعث افزایش تعداد طرق نگردد ( n r ) ( n n r )

مثال: شما دارای 5 سهم هستید و می خواهید سه تا از آنها را بفروشید. این کار را می توانید انجام دهید به چند طریق

تابعی است که روی فضای نمونه تعریف می شود و هر یک از مقادیر آن متناظر با یک یا چند عضو از اعضای فضای نمونه است 1- متغیر تصادفی گسسته با تعداد مقادیر متناهی یا شمارش پذیر -2 متغیر تصادفی پیوسته با تعداد مقادیر ممکن نامتناهی و غیر قابل شمارش

امید ریاضی متغیر تصادفی X که E(X) نشان داده می شود همان میانگین موزون است که احتماالت در آن نقش ضرایب ( وزن ها ) را ایفاء می کنند معیار عددی است که نوع و شدت رابطه خطی بین دو متغیر تصادفی را نشان می دهد و عبارتست از امید ریاضی تغییرات دو متغیر بر حسب میانگین شان. از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت تغییر می کند در نتیجه تفسیر آن راحت نیست

1- رابطه مستقیم : حرکت هم جهت متغیرها )کوواریانس مثبت( 2- رابطه معکوس : حرکت بصورت خالف جهت هم )کوواریانس منفی( 3- عدم وجود رابطه : عدم تأثیر متغیرها بر هم )کوواریانس صفر( COV ( X, Y ) E( X )( Y ) X Y

اگر x و y مستقل باشند کواریانشان حتما صفر است ولی عکس قضیه همیشه صادق نیست

همبستگی در واقع استاندارد سازی کواواریانس است -1 مقادیر آن از می کند. 1+ )هبستگی کامال مثبت( تا )همبستگی کامال منفی( تغییر برای نشان دادن آن برای جمعیت از ρ استفاده می شود. برای نشان دادن آن برای نمونه از r استفاده می شود.

مثال: کوواریانس میان دو دارایی برابر با 0/0046 است. انحراف معیار یک دارایی برابر با 0/0623 و دیگری برابر با 0/0991 است. همبستگی میان این دو دارایی چقدر است

امید ریاضی پرتفولیو میانگین موزون است که وزن هر سبد در آن نقش ضرایب ( وزن ها ) را ایفاء می کنند واریانس و انحراف معیار پرتفولیو

ویژگیها: -1 تکرار آزمایش ( n بار ) 2- هر آزمایشی فقط دو پیامد دارد 3- ثابت بودن p و q در هر آزمایش 4- مستقل بودن آزمایش ها از همدیگر P( X x ) x 0,1,2,..., n n x p x q nx

تعداد آزمایش ها = n تعداد موفقیت های مورد نظر = x احتمال موفقیت در هر آزمایش = p احتمال شکست در هر آزمایش = q 1- E(X) = np 2- V(X) = npq n و p و q پارامترهای توزیع دو جمله ای هستند

رفص یواسم نیعم هطقن کی رد هتسویپ عباوت رد لامتحا نازیم هک نیا رطاخب دوش یم نییعت هلصاف کی بلاق رد هشیمه لامتحا عباوت هنوگ نیا رد اذل تسا دنک یمن ءافیا یشقن اه عیزوت نیا رد یواسم تملاع سپ ) ( ) ( ) ( ) ( b X a P b x a P b X a P b X a P

توزیع احتمال گسسته و پیوسته یک توزیع احتمال احتمال تمام پیشامدهای یک متغیر تصادفی را به دست می دهد. توزیع گسسته توزیع پیوسته دارای تعداد محدودی پیشامد است. دارای تعداد نامحدودی پیشامد است. تعداد روزهایی که هفته بعد باران خواهد بارید یک متغیر تصادفی گسسته است که می تواند مقادیر }0 1 2 3 4 5 6 7{ را داشته باشد. مقدار بارانی که هفته بعد خواهد بارید یک متغیر تصادفی پیوسته است.

توابع احتمال یک تابع احتمال) function P(x) )probability مقداری را به دست می دهد که یک متغیر تصادفی گسسته با دادن x به آن به دست می دهد. برای مثال p(x) = x /15 for X = {1,2,3.4,5} p(3) = 20% دو ویژگی مهم هر تابع توزیع احتمال عبارتند از:

یک تابع چگالی احتمال) function f(x) )probability density برای محاسبه احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری را در میان دو نقطه اخذ کند به کار می رود )مشابه تابع احتمال(. یک تابع توزیع تجمعی) function F(x) )cumulative distribution برای محاسبه احتمال اینکه یک متغیر تصادفی کمتر یا مساوی یک مقدار خاص باشد به کار می رود.

تابع توزیع احتمال زیر را در نظر بگیرید داریم: و:

بازدهی سهام یک شرکت x در بازده )30+ 20-( قرار دارد و دارای تابع توزیع تجمعی زیر می باشد. احتمال اینکه بازدهی سهام مثبت و کمتر از 15 باشد چقدر است 20 F( x) x 50

توزیع یکنواخت یک توزیع یکنواخت گسسته دارای تعداد محدودی پیشامد است که همه آنها همشانس می باشند.

توزیع یکنواخت پیوسته احتمال به طور یکسان روی کل بازه توزیع شده است. مثال: متغیر تصادفی به طور پیوسته روی بازه تا 10 توزیع شده است. 2 احتمال وقوع هر تک نقطه صفر است. همچنین برای توزیع تجمعی آن داریم:

113 توزیع شده است. X بین 4 احتمال اینکه X به طور یکنواخت بین 2 و 12 و 8 باشد را محاسبه نمایید.

114 توزیع نرمال این توزیع با دانستن میانگین و واریانس کامال توصیف می شود. این توزیع حول میانگین متقارن است )چولگی= 0 ( کشیدگی آن برابر با 3 است ترکیبهای خطی )جمع و تفریق( توایع توزیع نرمال نیز نرمال می باشند. با دور شدن از میانگین احتمال وقوع کاهش می یابد اما دمها تا بی نهایت ادامه پیدا می کند. = مد میانه میانگین =

115 فاصله اطمینان: توزیع نرمال فاصله اطمینان interval( :)confidence بازه ای از مقادیر حول پیشامد مد نظر است که انتظار داریم پیشامد ما در درصد مشخصی از مواقع رخ دهد.

116 توزیع نرمال استاندارد یک توزیع نرمال که استاندارد شده است دارای میانگین صفر و انحراف معیار برابر با یک می باشد برای استاندارد کردن یک متغیر تصادفی مقدار Z را محاسبه می کنیم. برای محاسبه تقسیم کنید. Z میانگین را از مشاهده کم کنید و حاصل را بر انحراف معیار

117 محاسبه احتمال با استفاده از توزیع استاندارد نرمال سود سهام مجموعه بزرگی از شرکتها دارای توزیع نرمال است و دارای میانگین 4 و انحراف معیار 1/5 می باشد. احتمال اینکه سود سهام شرکتی که به طور تصادفی انتخاب می شود کمتر از 3/7 باشد چقدر است. به اندازه انحراف معیار کمتر از میانگین 4 میباشد 0/2 3/7

118 محاسبه احتمال با استفاده از توزیع نرمال استاندارد در اینجا هدف ما یافتن مساحت زیر نمودار که در سمت چپ مقدار Z 0/2- است می باشد. برابر با

120 محاسبه احتمال با استفاده از توزیع استاندارد نرمال

121 مثال فرض کنید که سود یک سهام ) EPS (به طور نرمال با میانگین $6 و انحراف معیار $2 توزیع شده است. احتمال اینکه سود $9.7 یا بیشتر باشد چقدر است در اینجا هدف ما محاسبه مقدار زیر است: P(EPS>9.7)

122 مقدار z را محاسبه می کنیم: z مقدار مربوطه را P(EPS<9.7) است یعنی 1.85 انحراف معیار باالی EPS میانگین. از جدول می خوانیم. 0.9678=(1.85)F که این عدد در واقع و مطلوب ما P(EPS>9.7) می باشد پس داریم: P(EPS>9.7)=1-0.9678=0.0322 که همان %3.2 است

123 توزیع لگاریتم نرمال )Lognormal( e^x در صورتیکه تابع توزیع x نرمال باشد الگنرمال این توزیع خواهد. لگاریتم طبیعی )Ln) توابع الگنرمال توزیع نرمال دارند. لگاریتم نرمال همواره مثبت است و برای بررسی قیمتهای سهام استفاده می شود.

124 بهره مرکب پیوسته و گسسته در حالت عادی مراد از نرخ بهره نرخ بهره گسسته است که به صورت ماهانه شش ماهه... ترکیب می شود. در صورتیکه هدف محاسبه نرخ بهره پیوسته باشد از توابع لگاریتم طبیعی استفاده می شود. مثال نرخ بهره % 10 کنیم: مرکب شش ماهه ماهانه و پیوسته را محاسبه می

125 شبیه سازی مونت کارلو از این شبیه سازی برای تخمین توزیع مشتقات یا مقادیر خالص ارزش فعلی استفاده می شود. توزیع متغیرهای تصادفی ورودی را انتخاب کنید )نرخ بهره قیمت سهام(.1 با استفاده از توابع ایجاد مقادیر رندوم کامپیوتر این مقادیر را ایجاد کنید خالص ارزش فعلی را با استفاده از این متغیر ها محاسبه کنید.2.3 3 و گامهای 2 را هزاران بار تکرار کنید.4 5. میانگین و واریانس را محاسبه کنید.

نمونه گیری و تخمین آماری 126

127 نمونه گیری محققان درصدد تعیین پارامترهای جامعه هستند این امر در اغلب مواقع یا ممکن نیست یا زمانبر و هزینه بر است. برای استنباط پارامترهای موردنظر به نمونه هایی از جامعه آماری اکتفا می کنند و مقدار آماره ( sample )statistic را محاسبه می کنند. مقادیر محاسبه شده برای نمونه )آماره ها( از نمونه ای به نمونه دیگر متغیرند. توزیع آماره distribution( )sampling تابع احتمالی است که از نمونه گیری مکرر و محاسبه مکرر آماره ها حاصل می شود. خطای نمونه گیری: عبارت است از تفاوت میان مقدار آماره و مقدار واقعی پارامتر برای جامعه آماری )یعنی )

128 نمونه گیری گروهی Sampling( )Stratified random جامعه به گروههای متجانس تقسیم و هر گروه از افرادی تشکیل می شود که دارای ویژگیهای مشابه هستد. )آتی حق تقدم سهام...(.1 تعداد نمونه را نسبت به هر گروه کنید )معموال متناسب با اندازه زیر گروه( انتخاب.2 3. نمونه گیری خوشه ای Sampling( )Cluster در اینجا واحد نمونه گیری تعریف می شود و بعد به نمونه گیری می پردازیم. مثال باال را در مورد بازارهای سهام کل دنیا داشته باشیم می توانیم واحد نمونه را بازار سهام هر کشور در نظر بگیریم و بعد چند بازار سهام کشوری را انتخاب کنیم..4

129 داده های سری زمانی یا برش مقطعی داده های سری زمانی 36 مقادیر یک داده در طی زمان. گذشته )36 داده( قیمت سهام شرکت ایران خودرو در ماه داده های برش مقطعی مقادیر یک داده در یک زمان مشخص. بازدهی شرکتهای خودرو سازی در ماه گذشته )10 شرکت خودرو سازی = 10 داده(

130 قضیه حد مرکزی n 2 برای هر جامعه آماریی با میانگین μ و واریانس هر چه اندازه نمونه تصادفی افزایش یابد توزیع میانگین نمونه ها به یک توزیع نرمال با میانگین μ 2 و واریانس نزدیکتر می شود. این قضیه به ما این توانایی را می دهد که با توجه به توزیع نرمال بتوانیم بر اساس میانگین نمونه فاصله اطمینان برای میانگین جامعه آماری ایجاد کنیم. این امر در صورتیکه اندازه نمونه به حد کافی بزرگ باشد) n>=30 ( مستقل از توزیع جامعه آماری است. در صورتیکه اندازه نمونه به حد کافی بزرگ باشد) n>=30 ( توزیع میانگین نمونه ها تقریبا نرمال خواهد بود.

131 خطای استاندارد میانگین نمونه )standard error of the sample mean( خطای استاندارد میانگین نمونه عبارت است از انحراف معیار توزیع میانگین نمونه ها. )نمونه گیری به تعداد زیادی تکرار می شود در هر نمونه گیری مقداری برای میانگین محاسبه می شود نمودار این میانگین ها رسم شود توزیع نرمال خواهند داشت انحراف معیار این توزیع نرمال خطای استاندارد میانگین است(. جامعه آماری معلوم باشد: σ اگر جامعه آماری معلوم )رایج(: نباشد σ اگر

132 خطای استاندارد میانگین نمونه میانگین P/E برای نمونه ای از 41 شرکت برابر 19 است و انحراف معیار جامعه آماری نیز برابر با 6/6 می باشد. خطای استاندارد میانگین نمونه چیست تفسیر: برای نمونه هایی با اندازه 41=n توزیع میانگین نمونه ها دارای میانگین 19 خواهد بود و انحراف معیار این توزیع برابر 1/03 است.

133 تخمین نقطه ای و فاصله اطمینان مثال: میانگین P/E برای نمونه ای از 41 شرکت برابر 19 است و خطای استاندارد میانگین نمونه برابر با 1/03 است و توزیع آن نرمال است. تخمین نقطه ای میانگین برابر 19 است فاصله اطمینان %90 عبارت است از فاصله اطمینان %90 عبارت است از 19 / 1.65*(1.03) 17.3 X 20.7 19 / 1.96*(1.03) 17 X 21

134 ایجاد فاصله اطمینان فاصله اطمینان برای یک متغیر تصادفی نرمال عبارت است از انحراف معیار * عامل پایایی +/- میانگین عامل پایایی factor( )reliability بستگی به توزیع دارد. 2 برای یک توزیع نرمال با میانگین 3 %90 داریم: و انحراف میعار برای فاصله اطمینان 3-1.65 (2) to 3 + 1.65 (2) = -0.3 to 6.3

135 توزیع t استیودنت و درجه آزادی ویژگیهای توزیع t استیودنت متقارن است قله آن پایینتر از توزیع نرمال و دمهای آن ضخیمتر از توزیع نرمال هستند بوسیله یک پارامتر تعریف میشود: freedom( )degree of در آن df=n-1 درجه آزادی که با افزایش df توزیع t به توزیع نرمال نزدیکتر می شود.

136 توزیع t شکل زیر توزیع t را با درجه آزادیهای مختلف نشان می دهد. هر چه درجه آزادی کمتر باشد احتمال پیشامدهای پرت بیشتر می شود. )دمها ضخیمتر می شوند(

137 جدول t

138 نمودار توزیع t با درجه آزادی های مختلف

139 توزیع جامعه نرمال نرمال غیرنرمال نمونه واریانس معلوم نامعلوم معلوم عامل پایایی نمونه کوچک )n<30) آماره آماره z نمونه بزرگ )n>30) z آماره t* آماره t ناممکن z آماره غیرنرمال نامعلوم ناممکن آماره *t * آماره z در این موارد قابل استفاده است اما استفاده از آماره t محافظه کارانه تر می باشد. واریانس معلوم: آماره z واریانس نامعلوم: آماره t مگر اینکه نمونه کوچک و توزیع غیر نرمال باشد

140 تشکیل فاصله اطمینان برای میانگین جامعه برای توزیع نرمال با واریانس معلوم برای توزیع نرمال با واریانس نامعلوم عامل پایایی به اندازه نمونه بستگی دارد )جدول(

141 مثال:توزیع نرمال واریانس نامعلوم میانگین نمونه 19 است. انحراف معیار نمونه برابر 6/6 است و 41=n برای میانگین جامعه یک فاصله اطمینان %90 تشکیل دهید. است. )reliability factor( از جدول t مقدار عامل پایایی را می خوانیم.

142 مسائل مربوط به اندازه نمونه مشاهده کردیم که اندازه بزرگتر نمونه ها موجب بهبود تخمین و کاهش فاصله اطمینان می شود اما هزینه جزء عواملی است که باید در نظر گرفته شود. به دست آوردن اطالعات بیشتر در اغلب موارد نیازمند هزینه بیشتر است و سود و ضرر باید باهم دیده شوند. در بعضی مواقع بزرگتر کردن اندازه نمونه منجر به این می شود که اعضایی از جامعه آماری های دیگر )با پارامترهای دیگر( وارد نمونه شما شوند که این می تواند حتی منجر به کاهش دقت تخمین شما شود.

143 آزمون فرض آماری گامهای آزمون فرضیه را بیان کنید )رابطه ای که مورد آزمون قرار خواهد گرفت( یک آماره statistic( )test انتخاب کنید )level of significance( سطح معنی داری را مشخص کنید قاعده تصمیم گیری rule( )decision را برای فرضیه مطرح کنید نمونه گیری انجام دهید و آماره را محاسبه کنید در مورد فرض تصمیم گیری کنید بر اساس نتایج تصمیم گیری نمایید

144 فرض صفر و فرض مقابل Hypotheses( )Null & Alternative ) H 0 فرض صفر) فرضیه که تست خواهد شد آزمایشگر می خواهد آنرا رد کند.1.2 همیشه دارای عالمت = است.3 ) H a فرض مقابل) آنچه آزمایشگر می خواهد به آن نتیجه برسد آنچه که در صورت رد فرض صفر استنتاج می شود..1.2

145 آماره آزمون ----------------------------------------= آماره آزمون آماره آزمون مقدار پارامتر جامعه آماری تحت آزمون صفر - خطای استاندارد آماره نمونه آماره نمونه از داده های نمونه محاسبه می شود با مقادیر بحرانی مربوط به فرض صفر قیاس می شود.1.2 در صورتیکه آماره آزمون از مقادیر بحرانی تجاوز کند بحرانی باشد( محقق فرض صفر را رد می کند )خارج محدوده مقادیر

146 آزمون دو دنباله test( )two tailed از این آزمون زمانی استفاده می شود که بررسی شود پارامتر یک جامعه آماری متفاوت از مقدار مشخصی است

147 آزمون یک دنباله test( )one tailed از این آزمون زمانی استفاده می شود که بررسی شود پارامتر یک جامعه آماری باالتر یا پایینتر از مقدار مشخصی است

148 خطای نوع یک و نوع دو خطای نوع 1 رد کردن H 0 وقتی که در واقع درست است 1 سطح معنی داری. همان احتمال خطای نوع است خطای نوع 2 رد نکردن H 0 وقتی که در واقع غلط است توان آزمون Test( )Power of ))احتمال خطای نوع )2 )1 عبارت است از

149 مقدار p مقدار p کوچکترین سطح معنی داری است که در آن فرض صفر قابل رد شدن است. %2/13 0/0213 برای مثال در صورتیکه مقدار p باشد یا برابر می توانیم فرض صفر را در سطح معنی داری %5 می توانیم فرض صفر را در سطح معنی داری %3 رد کنیم رد کنیم نمی توانیم فرض صفر را در سطح معنی داری %1 رد کنیم

150 آماره آزمونهای مختلف آزمون میانگین یک جامعه آماری نرمال وقتی که واریانس جامعه آماری نامعلوم است از آماره t استفاده می شود

151 آزمون میانگین یک جامعه آماری نرمال وقتی که واریانس جامعه آماری معلوم است از آماره z استفاده می شود

مقادیر بحرانی Z 152

153 مثال آزمون فرض آماری این فرضیه را که میانگین بازدهی یک صندوق برابر با %1 در هر ماه است )آزمون دو دنباله( با سطح معنی داری %5 را آزمایش کنید. اطالعات داده شده: میانگین نمونه: %1/5 اندازه نمونه: 45 % انحراف معیار: 1/4 واریانس جامعه آماری معلوم است توزیع جامعه آماری غیر نرمال است

154 گفتیم که در صورتیکه واریانس جامعه آماری معلوم باشد و اندازه نمونه بزرگ باشد از آماره z استفاده می کنیم +1/96 مقادیر بحرانی برای آزمون دو دنباله با سطح معنی داری %5-1/96 عبارتند از و قاعده تصمیم گیری rule( :)Decision اگر آماره آزمون بیرون محدوده مقادیر بحرانی باشد فرض صفر را رد می کنیم محاسبه آماره آزمون از آنجا که آماره z خارج از محدوده مقادیر بحرانی قرار دارد فرض صفر را رد می کنیم. پس میانگین بازده = %1 در سطح معنی داری %5

156 محققین معتقدند که میانگین بازدهی های یک صندوق بیش از %1 در ماه است. اندازه نمونه 25 است و میانگین آن %1/5 و انحراف معیار آن برابر با %1/4 است. جامعه آماری نرمال است. فرضیه را در سطح معنی داری %5 آزمایش نمایید. از آنجا که آماره آزمون برابر 1/7857 است فرض صفر را رد می کنیم است و این مقدار بیش از مقدار بحرانی 1/711

157 آماره آزمون مقایسه میانگین دو جامعه آماری Means( )Difference in آزمون اینکه میانگین دو جامعه آماری نرمال با هم برابر هستند. مستقل از هم هستند. نمونه ها وقتی واریانس دو جامعه نامعلومند اما فرض میشود برابر باشند وقتی واریانس ها نامعلومند اما فرض میشود نابرابر باشند

158 آماره آزمون مقایسه زوجها Comparison( )Mean Differences- Paired آزمون اینکه میانگین دو جامعه آماری نرمال با هم برابر هستند. در واقع با تشکیل زوجهایی شبیه به هم و مقایسه این زوجها به آزمون می پردازیم. پس نمونه های وابسته هستند.

159 آماره آزمون واریانس 2 آزمون اینکه واریانس یک جامعه آماری با توزیع نرمال برابر با مقدار است 0 از آماره آزمون کای-دو square( )Chi استفاده می شود دو دنباله است )می تواند یک دنباله هم تعریف شود(. در صورتیکه خارج محدوده مقادیر بحرانی بود فرض صفر را رد کنید.

160 آماره آزمون واریانس آزمون اینکه واریانس دو جامعه آماری نرمال با هم برابر هستند یا نه با استفاده از آزمون F صورت می گیرد. واریانس بزرگتر را در صورت کسر قرار میدهیم و در نتیجه مقادیر بحرانی باال را صرفا بررسی می کنیم. با اینکه یک آزمون دو دنباله است.

161 آزمونهای پارامتریک و ناپارامتریک آزمونهای پارامتریک بر مبنای فرضیاتی در مورد توزیع جامعه آماری و پارامترهای جامعه آماری است )آزمون t و z و F( آزمونهای ناپارامتریک فرضی در مورد توزیع جامعه ندارند و مواردی به غیر از مقادیر پارامتر ها را بررسی می کنند. ( correlation runs tests, rank )tests

ارزش زمانی پول و کاربردها 162

163 ارزش زمانی پول و کاربردهای آن (Time Value of Money Discounted Cash Flow Applications)

164 دلیل وجود ارزش زمانی برای پول وجود بهره در اقتصاد موجب می شود که پول ارزش زمانی داشته باشد یعنی یک واحد پولی که امروز دریافت می شود بیش از یک واحد پولی که در آینده دریافت خواهد شد ارزش داشته باشد. اگر نرخ بهره ساالنه 10 درصد باشد 1000 واحد پولی امروز یک سال بعد 1100 واحد 2 سال بعد 1210 واحد و 5 سال بعد 1610 واحد می ارزد. 1000 ) 1 + %10 ( = 1100 1000 ) 1 + %10(2 = 1210 1000 ) 1 + %10(3 = 1331 1000 ) 1 + %10(4 = 1464 1000 ) 1 + %10(5 = 1610

165 نام دیگر نرخ بهره ( rates )Interest نرخ تنزیل) rates )discount است از دیدگاه دیگر نرخ بهره به عنوان هزینه فرصت مصرف فعلی نیز می توان یاد کرد چونکه مصرف در آینده می تواند %i باالتر باشد. نرخ بهره مورد نیاز ( rate )Required (nominal) interest در مورد یک سرمای گذاری به عوامل متعددی همچون نرخ تورم انتظاری صرف ریسک نکول) premium )default risk صرف ریسک نقد شوندگی maturity risk و صرف ریسک سررسید) )liquidity premium( )premium بستگی دارد.

166 نرخ بازده موثر ساالنه نرخ بازده موثر ساالنه Rate( )Effective Annual محاسبه است بوسیله رابطه زیر قابل فرض کنید نرخ بهره اسمی ساالنه %12 باشد که در هر سال دو بار بهره به آن تعلق می گیرد)یعنی هر 6 ماه یک بار(. نرخ بهره موثر ساالنه را محاسبه کنید i=12/2=6 m=2 EAR=1.06 2-1=12.36%

167 فرض کنید نرخ بهره اسمی ساالنه %12 باشد که در هر سال چهار بار بهره به آن تعلق می گیرد)یعنی هر 3 ماه یک بار(. نرخ بهره موثر ساالنه را محاسبه کنید i = 12/4 = 3 m = 4 EAR = 1.03 4-1 = 12.55% مساله را در حالت بهره مرکب ماهانه حل کنید. i=12/12=1 m=12 EAR =1.01 12-1=12.68%

168 ارزش آتی مبلغ فعلی FV PV ( 1 i) n در رابطه فوق ارزش آینده : )ارزش آتی( F ارزش فعلی : )ارزش حال( P : نرخ بهره و i : تعداد دوره زمانی می باشد. n

169 اگر امروز 200 ریال با نرخ بهره 10 درصد سرمایه گذاری شود پس از جمع اصل و سود سرمایه گذاری چقدر می شود 2 سال 200 (1.1) (1.1) = 242 N = 2; I/Y = 10; PV = 200; PMT = 0; CPT FV =-242.00

170 ارزش فعلی یک مبلغ اگر رابطه قبلی را بر اساس P بنویسیم رابطه زیر به دست می آید که می توان با استفاده از آن ارزش فعلی یک قسط را محاسبه نمود. PV FV ( 1 i) n

171 اگر 3 سال دیگر به شما 150000 ریال بدهند با نرخ بهره 12 درصد ارزش فعلی این پول چقدر است PV 150000 (1 12%) 3 106770

172 اگر 3 سال دیگر به 150000 ریال پول نیاز داشته باشید با نرخ بهره 12 درصد امروز چقدر باید سرمایه گذاری کنید تا پس از 3 سال به پول مورد نظر خود برسید PV 150000 (1 12%) 3 106770

173 با نرخ بهره 10 درصد چند سال طول می کشد تا 100000 133100 ریال شود ریال تبدیل به برای حل این مسئله باید در رابطه زیر اعداد مختلف را بجای به جواب مورد نظر برسید. nقرار دهید تا F n p( 1 i) n 3

174 133100 100000 با چه نرخ بهره ای پس از 3 می شود سال ریال تبدیل به ریال برای حل این مسئله باید در رابطه زیر اعداد مختلف را بجای به جواب مورد نظر برسید. iقرار دهید تا 133100 100000 (1 i) 3 i 10%

175 یک حساب سرمایه گذاری 100 000 تومانی که به صورت فصلی بهره مرکب دارد بعد از دو سال ارزشی برابر با 123 528 تومان پیدا می کند. نرخ بهره موثر و اسمی را محاسبه کنید Effective annual: N = 2, PMT = 0, PV = -100,000, FV = 123,528, CPT I/Y = 11.143 (%) OR (123,528/100,000) 1/2-1 = 0.11143 Stated annual: N = 8, PMT = 0, PV = -100,000, FV = 123,528, CPT I/Y = 2.6764 x 4 = 10.706% OR = (123,528/100,000) 1/8 1 = 0.02676 x 4 = 0.10706

176 سالواره) annuity ( سالواره عبارت است از تعدادی پرداخت با اندازه مساوی. برای مثال دریافت 100000 تومان در انتهای سال برای 8 سال آتی. همانند اقساط با مبلغ یکسان پرداختی. برای محاسبه ارزش آتی چند قسط مساوی از رابطه زیر عامل مرابحه اقساط مساوی را محاسبه نموده و در مبلغ یک قسط ضرب می کنند: FV / A (1 i) i n 1

177 ارزش آتی سه قسط $200 را در انتهای سه سال محاسبه کنید. 200 x 1.1 2 + 200 x 1.1 + 200 = 662 N = 3; I/Y = 10; PMT = -200; CPT FV = 662.00

178 10 25000 مثال 10 : ارزش آتی 4 چقدر می شود قسط مساوی ریالی با نرخ بهره درصد F n (1 10%) 1 / A 10% 4.641 25000 641/4 = 116025

179 سالواره دائمی )Perpetuity( در صورتیکه پرداختها به تعداد خیلی زیاد و نامتناهی باشند سالواره دائمی نامیده می شود. PV A/ i یک سهام ممتاز برای سالهای آتی در هر سال 8 تومان پرداخت خواهد کرد. نرخ بهره مورد نیاز %10 است. ارزش این سهام چقدر است

180 ارزش فعلی و ارزش آتی چند قسط نامساوی )جریانهای نقدینه متغیر( برای محاسبه ارزش فعلی و یا ارزش آتی چند قسط نامساوی از همان روابط مورد استفاده در قسمت ارزش فعلی و ارزش آتی یک قسط استفاده می شود. $200 $600 در انتهای سه سال آتی به ترتیب سه پرداختی $300 ارزش فعلی و آتی این پرداختها را محاسبه نمایید. داریم. و

181 ارزش فعلی 200 / 1.1 3 + 600 / 1.1 2 + 300 / 1.1 = $918.86 = PV N = 1; I/Y = 10; FV = 300; CPT PV = $272.73 N = 2; I/Y = 10; FV = 600; CPT PV = $495.87 N = 3; I/Y = 10; FV = 200; CPT PV = $150.26

182 ارزش آتی 300 (1.1) 2 + 600 (1.1) + 200 = $1,223 N = 2; I/Y = 10; PV = -300; CPT FV = $363 N = 1; I/Y = 10; PV = -600; CPT FV = $660 200$ 1,223 $

183 در صورتیکه وجوه دریافتی یک شخص در پایان سال اول 5000 ریال سال دوم 8500 ریال سال سوم 7000 ریال و سال چهارم 12000 ریال باشد ارزش فعلی آنها با نرخ بهره 10 درصد چقدر می شود برای حل این مسئله باید ارزش فعلی هرکدام از اعداد را بدست آوریم و سپس اعداد بدست آمده را با هم جمع کنیم. P F ( 1 i) 5000 P (1 10%) n 1 12000 4545 P (1 10%) 4 8196 8500 P 7025 2 (1 10%) 7000 P 5259 3 (1 10%) 4545 + 7025 + 5259 + 8196 = 25025

184 می توان تمام موارد فوق را بصورت زیر بطور یکجا محاسبه کرد: 5000 P (1 10%) 8500 (1 10%) 7000 (1 10%) 12000 (1 10%) 1 2 3 4 25025

185 ارزش فعلی )ارزش حال( چند قسط مساوی برای محاسبه ارزش فعلی چند قسط مساوی از رابطه زیر عامل تنزیل اقساط مساوی را محاسبه نموده و در مبلغ یک قسط ضرب می کنند: P / A 1 1 (1 i) i n

186 10 25000 ارزش فعلی 4 شود قسط مساوی ریالی با نرخ بهره درصد چقدر می P / A 1 1 (1 10%) 10% 4 3.1699 25000 1699/3 = 79247

187 ارزش آتی سرمایه گذاری ساالنه 100 واحد پولی از آخر سال اول به مدت فرض نرخ بهره %8 چه مقدار می باشد 5 سال با F / A) n و = 5 i =%8( 100 =F نرخ %8 ارزش آتی 5 محاسبه زیر بصورت را با ریالی یک قسط کنید: F / A (1 8%) 8% 5 1 5.8666

188 خالص ارزش فعلی ( )NPV در این روش برای ارزیابی پروژه های سرمایه گذاری»ارزش فعلی خالص جریانات نقدی«محاسبه و بر اساس آن تصمیم گیری انجام می شود. اگر خالص ارزش فعلی جریانات نقدی یک طرح مثبت باشد طرح پذیرفته می شود ولی اگر خالص ارزش فعلی جریانات نقدی یک طرح عدد منفی باشد طرح پذیرفته نخواهد شد. در مواردی که خالص ارزش فعلی جریانات نقدی یک طرح صفر شود شرکت در پذیرش یا عدم پذیرش آن مختار است.

189 با استفاده از نرخ تنزیل %9 محاسبه میکنیم. خالص ارزش فعلی سرمایه گذاری زیر را End of Year 0 1 2 3 Project X -$100 25 50 75 Discounted Cash Flow -$100.00 22.94 42.08 57.91 NPV=$22.93

190 در مواردی که شرکت در نظر دارد از بین چند طرح پیشنهادی یکی آنها را انتخاب کند باید طرحی انتخاب شود که NPV آن مثبت و NPV سایر طرحها بزرگتر باشد. از از بهترین از یکی روشهای ارزیابی پروژه های سرمایه گذاری روش NPV می باشد.

191 نمودار NPV بر حسب نرخ تنززیلهای متفاوت

192 )Internal Rate of Return (IRR)( ب( نرخ بازده داخلی یا درونی نرخ بازده داخلی یا نرخ بازده درونی عبارت است از نرخی که اگر با آن NPV طرح محاسبه شود NPVبرابر صفر گردد. در صورتیکه ماشین حساب مالی به همراه نداشته باشید برای محاسبه IRR بایستی از سعی و خطا استفاده کنید.

193 نرخ بازده داخلی End of Year 0 1 2 3 Project X CFs -$100 25 50 75 =0.00=NPV Discounted Cash Flow at 19.4% -$100.00 +20.94 +35.07 +44.06 از آنجا که در نزخ تنزیل %19/4 خالص ارزش فعلی برابر صفر شده است پس نرخ بازده داخلی برابر با صفر است.

194 شرط پذیرش یک طرح با استفاده از روش نرخ بازده داخلی این است که نرخ بازده داخلی طرح از نرخ هزینه سرمایه شرکت بیشتر باشد. چنانچه نرخ بازده داخلی طرح از نرخ هزینه سرمایه شرکت کمتر باشد طرح نباید پذیرفته شود و در صورتیکه نرخ بازده داخلی طرح با نرخ هزینه سرمایه شرکت برابر باشد شرکت در پذیرش یا عدم پذیرش طرح مختار است.

195 مشکالت روش IRR در صورتیکه جریانهای نقدی بیش از یک بار تغییر عالمت بدهند)از منفی به مثبت و بعد دوباره منفی( در این صورت ممکن است بیش از یک IRR وجود داشته باشد جریانهای نقدینگی )سرمایه گذاریها( را بر اساس NPV نمود اما بر اساس IRR نمی توان این کار را انجام داد. می توان رتبه بندی

196 شرکتی 40000 واحد پولی برای خرید یک ماشین سرمایه گذاری کرده است. ارزش اسقاط این ماشین بعد از 4 سال عمر مفید آن صفر می باشد. خالص جریان نقدینه و سود حاصل از ماشین در جدول زیر آمده است: سال 1 2 3 4 جریان نقدینه 20000 20000 15000 15000 سود 10000 10000 5000 5000

197 الف( نرخ بازده درونی این طرح را محاسبه کنید. 20000 20000 15000 15000 40000 3 4 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) i 2 28.88%

198 ب( خالص ارزش فعلی سرمایه گذاری را با فرض هزینه سرمایه %14 کنید. محاسبه NPV 20000 (1 14%) 20000 15000 15000 40000 11939 2 3 4 (1 14%) (1 14%) (1 14%)

199 بازده دوره نگهداری ( (HPR) )Holding Period Return این بازده همانطور که از اسم آن پیداست درصد افزایش در ثروت را در طول دوره مد نظر محاسبه می کند. آنچه در اینجا اهمیت ندارد طول دوره است. سهامی که 6 ماه پیش به قیمت $9 خریده شده بود االن $10/2 بازده دوره چه میزان بوده است ارزش دارد. 10.20 / 9-1 = 1.20 / 9 = 13.33%

200 سهامی که سال قبل به قیمت $29 خریداری شده است پرداخت کرده است و االن قیمتش 30/50 دالر است. (30.50 + 1.30) / 29-1 = 9.66% $1/3 سود سهام

201 نرخ بازده موزون زمانی Returns( )Time-Weighted در اینجا نرخ بازده دوره نگهداری های مختلف محاسبه می شود. نرخهای بازده موزون زمانی ساالنه نرخای موثر ساالنه هستند. است طول متفاوتی داشته باشند. دوره ها ممکن 1+HPR 1

202 نرخ بازده موزون پولی) Returns )Money-Weighted نرخهای بازده موزون پولی همانند IRR هستند. طول دوره ها بایستی مساوی باشد. از کوتاهترین دوره ای که در آن جریان نقدینگی رخ نداده است استفاده کنید.

203 در یک حساب سپرده گذاری $1000 در زمان 0=t سرمایه گذاری می کنیم. در 1=t ارزش حساب عبارت است از $1200 )%20+( و $800 به حساب اضافه می کنیم)ارزش حساب به $2000 می رسد(. در زمان 2=t ارزش حساب برابر $2200 شده است) %10 +( و در اینجا کل پول را برداشت می کنیم. نرخ بازده موزون پولی و زمانی را محاسبه نمایید. TWR = [(1.2)(1.1 )] 1/2-1 = 14.89% MWR = 13.623% نرخ بازده پولی به بازده دوره دوم وزن بیشتری می دهد.

204 BOY, HPY, EA Y, MMY

205 Yield Example: 90-day T -bill priced at $980

206 نمونه سواالت

207 با استفاده از مقادیر جدول زیر برای نرخهای بازده سهام شرکت الف جدول توزیع فراوانی مطلق نسبی و تجمعی را تشکیل دهید.

210 تحلیلگری نسبتهای قیمت به درآمد) P/E ( چند شرکت را به شاخص S&P 500 جمع آوری و این شرکتها را از بیشترین P/E به کمترین P/E مرتب کرده است. او به هر گروه یک شماره اختصاص داده است: بعنوان مثال گروه دارای کمترین نسبت P/E شماره 1 گروه بعدی شماره 2 و الی آخر. نوع مقیاس اندازه گیری مورد استفاده این تحلیلگر کدام است ترتیبی) ordinal ( فاصله ای) interval ( اسمی) nominal ( )ratio( نسبتی

211 این تحلیلگر از مقیاس ترتیبی استفاده کرده است که شامل دسته بندی داده ها بر اساس خصوصیاتی چون نسبت P/E شرکتها می باشد.

212 راننده ای مسیر تهران قم را با سرعت 80 کیلومتر در ساعت می رود و همین مسیر را با سرعت 100 کیلومتر در ساعت برمی گردد. متوسط سرعت راننده را محاسبه کنید.

213 راننده ای مسیر تهران قم را با سرعت 80 کیلومتر در ساعت می رود و همین مسیر را با سرعت 100 کیلومتر در ساعت برمی گردد. متوسط سرعت راننده را محاسبه کنید. 1 80 2 1 100 88.89

214 جدول زیر را برای بازدهی سهام الف در نظر بگیرید میانیگین هندسی بازده ها را محاسبه نمایید میانه و مد را مشخص کنید.

و 7 215 میانگین حسابی میانه: مرتب کردن داده ها: - 2 و 5 و 11 و 11 و 22 مد: 11

216 جدول زیر را برای بازدهی سهام الف در نظر بگیرید دامنه تغییرات انحراف متوسط از میانگین را محاسبه کنید واریانس و انحراف معیار را با این فرض حساب کنید که توزیع فوق جمعیت باشد )محاسبه پارامتر( واریانس و انحراف معیار را با این فرض حساب کنید که توزیع فوق نمونه باشد )محاسبه آماره(

217 دامنه تغییرات انحراف متوسط از میانگین

218 واریانس و انحراف معیار جمعیت واریانس و انحراف معیار نمونه

219 اگر توزیعی عدم تقارن مثبت نشان دهد به احتمال زیاد میانگین در کجا قرار دارد سمت چپ میانه و مد سمت چپ میانه و سمت راست مد سمت راست میانه و سمت چپ مد سمت راست میانه و مد

220 سمت راست میانه و مد توزیع دارای عدم تقارن مثبت انحراف زیادی به سمت راست دارد و در نتیجه تعداد زیادی از مشاهدات در قسمت چپ آن واقع می شوند. در توزیع بازده ها این به معنای زیانهای کوچک مکرر و چند سود کالن است. نتیجه آن می شود که این سودهای کالن میانگین را به سمت راست می کشند در حالیکه مد با حجم زیادی از مشاهدات در سمت چپ باقی می ماند. میانه بین میانگین و مد واقع می شود.

221 با استفاده از نابرابری چ بی شف و بدون توجه به شکل توزیع حداقل مشاهدات یک جمعیت 500 تایی که باید بین دو انحراف معیار قرار بگیرند چقدر است 75% 89% 99% 70%

222 نابرابری چبی شف در مورد هر توزیعی صرف نظر از شکل آن صدق می کند و اظهار می کند که تعداد مشاهدات واقع شده در k انحراف معیار برابر است با 1. 1/k 2 در این مورد = 2 k 0.75 = 1/4 1 یا 75% است.

224 امید ریاضی انداختن یک تاس را محاسبه کنید

225 امید ریاضی انداختن یک تاس را محاسبه کنید

226 جدول توزیع احتماالت EPS شرکت الف در زیر آمده است. EPS )امید ریاضی( واریانس و انحراف معیار آنرا محاسبه کنید. انتظاری

228 در جدول ذیل که قبال دیدید ارزش موردانتظار سبد و واریانس سبد را محاسبه کنید. با این فرض که 400 تومان در سبد A و 600 تومان در سبد B سرمایه گذاری شده است.

231 7 مدیر صندوق بازنشستگی مشخص کرده است که طی 5 سال گذشته 85% از سهم های موجود در سبد سهام سود پرداخت کرده اند و 40% از آنها اعالم تجزیه سهام کرده اند. در صورتی که 95% از سهم ها سود پرداخت می کردند و/یا اعالم تجزیه سهام می کردند احتمال توام سهامی که هم سود پرداخت می کند و هم اعالم تجزیه سهام می کند چقدر است

232 7 مدیر صندوق بازنشستگی مشخص کرده است که طی 5 سال گذشته 85% از سهم های موجود در سبد سهام سود پرداخت کرده اند و 40% از آنها اعالم تجزیه سهام کرده اند. در صورتی که 95% از سهم ها سود پرداخت می کردند و/یا اعالم تجزیه سهام می کردند احتمال توام سهامی که هم سود پرداخت می کند و هم اعالم تجزیه سهام می کند چقدر است احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد برابر است با مجموع احتماالت هر یک از رویدادها منهای احتمال توام دو رویداد: P(A or B) = P(A) + P(B) P(AB) 95% = 85% + 40% P(AB) P(AB) = 30%

233 با شماره پالک ایران 11 چند خودرو را می توان شماره گذاری کرد شماره گذاری به این ترتیب است که دو عدد یک حرف الفبای فارسی و سپس سه عدد دیگر استفاده می شود. 32 اعداد از یک تا 9 هستند و حروف نیز عدد هستند.

234 با شماره پالک ایران 11 چند خودرو را می توان شماره گذاری کرد شماره گذاری به این ترتیب است که دو عدد یک حرف الفبای فارسی و سپس سه عدد دیگر استفاده می شود. 32 اعداد از یک تا 9 هستند و حروف نیز عدد هستند. 9*9*9*32*9*9=1889568

235 با شماره پالک ایران 11 چند خودرو را می توان شماره گذاری کرد ارقام تکراری مجاز نمی باشند. شماره گذاری به این ترتیب است که دو عدد یک حرف الفبای فارسی و سپس سه عدد دیگر استفاده می شود. 32 اعداد از یک تا 9 هستند و حروف نیز عدد هستند.

236 با شماره پالک ایران 11 چند خودرو را می توان شماره گذاری کرد ارقام تکراری مجاز نمی باشند. شماره گذاری به این ترتیب است که دو عدد یک حرف الفبای فارسی و سپس سه عدد دیگر استفاده می شود. 32 اعداد از یک تا 9 هستند و حروف نیز عدد هستند. 9*8*32*7*6*5=483840

237 ضریب همبستگی بازدهی سهام الف و ب برابر با 0/5 است. کوواریانس این دو سهام برابر با 0/0043 است و انحراف معیار بازده سهام ب برابر با %26 است. واریانس سهام الف را محاسبه کنید.

240 در یک شرکت خیلی بزرگ تعداد کارمندان مرد دو برابر تعداد کارمندان زن است. در صورتیکه یک نمونه چهارنفری از کارمندان انتخاب شوند احتمال اینکه هر چهار نفر زن باشند چقدر است

241 در یک شرکت خیلی بزرگ تعداد کارمندان مرد دو برابر تعداد کارمندان زن است. در صورتیکه یک نمونه چهارنفری از کارمندان انتخاب شوند احتمال اینکه هر چهار نفر زن باشند چقدر است P(male) = 2/3 P(female) = 1/3 (0.333)^4 = 0.0123

242 برای دو دارایی A و B شرایط زیر را داریم: E( ) = 0.10, E( ) = 0.10, R A R A R B R B Var( ) = 0.18, Var( ) = 0.36 همچنین ضریب همبستگی دو دارایی برابر 0/6 است. واریانس پورتفولیویی که به طور مساوی در دو دارایی سرمایه گذاری شده باشد چقدر است A) 0.1500. B) 0.1102. C) 0.2114.

243 برای دو دارایی A و B شرایط زیر را داریم: E( ) = 0.10, E( ) = 0.10, R A R A R B R B Var( ) = 0.18, Var( ) = 0.36 همچنین ضریب همبستگی دو دارایی برابر 0/6 است. واریانس پورتفولیویی که به طور مساوی در دو دارایی سرمایه گذاری شده باشد چقدر است

244 سبدی در چهار سال مختلف بازدهی های زیر را ایجاد کرده است. ضریب پراکندگی بازدهی های این پرتفولیو را محاسبه کنید.

245 سبدی در چهار سال مختلف بازدهی های زیر را ایجاد کرده است. ضریب پراکندگی بازدهی های این پرتفولیو را محاسبه کنید.

246 از هر 100 نفری که وارد فروشگاه می شوند 75 تهران یک روز در هر 25 روز باران می بارد. نفر خرید انجام می دهند. در احتمال اینکه فردی در روز غیر بارانی از فروشگاه خرید کند چقدر است

247 از هر 100 نفری که وارد فروشگاه می شوند 75 تهران یک روز در هر 25 روز باران می بارد. نفر خرید انجام می دهند. در احتمال اینکه فردی در روز غیر بارانی از فروشگاه خرید کند چقدر است احتمال خرید و احتمال روز غیر بارانی پیشامدها مستقل از همند. پس از ضرب استفاده می شود. 75/100 * 24/25 = 0.72

248 جعبه ای داریم که پر از مهره های سفید و سیاه است. احتمال اینکه 6 مهره از آن خارج کنیم و دو تای آنها سفید باشند چقدر است د رصورتیکه احتمال خروج مهره سفید در هر دفعه 0/4 می باشد.

249 جعبه ای داریم که پر از مهره های سفید و سیاه است. احتمال اینکه 6 مهره از آن خارج کنیم و دقیقا دو تای آنها سفید باشند چقدر است درصورتیکه احتمال خروج مهره سفید در هر دفعه 0/4 می باشد.

250 منابع: CFA 2011 Curriculum آمار و کاربرد آن در مدیریت عادل آذر